Аркага
26 Март 2020

MAT-100 Matematik / Baktıbek Ablabekov


Профессор Аблабеков

8-лекция жана практика сабагы

  1. Комбинаториканын элементтери жана эрежелери

     Ыктымалдыктар теориясынын масеяелерин чыгарууда математиканын бир бөлүмү болгон комбинаториканын элементтери кеңири колдонулат.    

Комбинаторикаберилген чектелген көптүктөрдүн (сандардын, тамгалардын, ж.б.) элементтерин ичинен тандоо жана аларды берилген эрежелер боюнча топко жайгаштырууну  үйрөтүүчү математиканын бөлүмү.

«Комбинаторика» сөзү латынча combino — байланыштыруу деген сөздөн келип чыккан. Түзүү эрежелерине жараша үч типтеги комбинаториканын түрлөрүн бөлүп көрсөтсөк болот: орун алмаштыруу, жайгаштыруу жана  айкалыштыруу.

Комбинаториканын көп маселелери төмөнкү эки  негизги эрежелеринин жардамы менен чыгарылат: суммалоо жана көбөйтүүнүн эрежелери.

Суммалоо эрежеси. Эгерде  кандайдыр бир обьектилердин көптүгүгүнөн А объектиси m жол менен тандалып алынса, ал эми а В объектиси  – n жол менен тандалып алынса, анда А же В ны m+n жол менен тандап алууга болот.

Көбөйтүү эрежеси.Эгерде  кандайдыр бир обьектилердин көптүгүгүнөн  А объектисин  m ыкма менен тандоого болсо жана андан кийин ар бир В объектисин n ыкма менен тандоого болсо, анда А жана В объектилерин көрсөтүлгөн тартипте mn ыкма менен тандап алууга болот.

Бул эрежелер үч жана андан көп обьектилер үчүн дагы жайылтылат.

Бул эрежелерден тышкары кээ бир типтүү маселерди чыгаруу үчүн белгилуу комбинаториканын формулаларын колдонобуз.

1-мисал. 4, 5, 6, 7 цифраларынын жардамы менен канча төрт орундуу сандарды алууга болот?

     Чыгаруу.   Берилген цифралардын төртөө тең миңдин, жүздүн, ондун жана бирдик     разряддардын     цифралары    боло   алат    б.а. төрт орундуу сандын ар бир разрядынын төрт мүмкүнчүлүгү бар. Демек төрт орундуу санды алууга болот.

2-мисал. Футбол боюнча турнирге 18 команда катышып жатат. Эгерде каапаган команда бир гана медаль ала турган болсо, алтын, күмүш жана колр медалдарын канча ыкманын жардамы менен командапарга бөлүштүрүүгө болот.

Чыгаруу. Медалдардын бирөөсүн, мисалы коло медалын 18 команданын ичинен бирөө жеңип алат (18 ыкма). Кийин күмүш медалын калган 17 команданын ичинен бирөө жеңип алат (17 ыкма), ошондой эле алтын медалды 16 команданын ичинен бирөө жеңет (16 ыкма). Анда  ыкма менен үч медалды 18 командага бөлүштүрүүгө болору келип чыгат.

п ар түрдүү элементерден m элементтерин тандоодо, алар m боюнча п элементтердин биригүүлөрүн түзүшөт деп айтышат.

Орун алмаштыруу

1-Аныктама. Ар бири берилген п элементтерден турган жана бири - биринен элементтердин орундары менен гана айырмаланган комбинацияны орун алмаштыруулар деп айтабыз.

п элементтен турган бардык орун алмаштыруулардын саны төмөнкү формула аркылуу эсептелет:

                   (2.2)

        3-мисал. Үч кишинин үч орундукка канча түрдүү жол менен орун алмашып олтура алышарын көрсөтөлү:

                      Р3=3!= .

4   - мисал. а,  в, с тамгаларынын эки тамга боюнча удаалаш жайгаштыруунун ыкмаларынын саны: , б.а.      ав, ас, вс, ва, са, св.

5- мисал. Биринчи  блюдада  8 апельсин жатса, экинчисинде – 4 алма бар. Бир жемишти канча жол менен тандап алууга болот?

Чыгарылышы. Бир апельсинди 8 жол менен тандап алууга болот, ал эми бир алманы 4 жол менен тандап алууга болот.  Бир жемиш - бул же  апельсин, же алма. Суммалоо эрежесин колдонобуз: m = 8, n = 4; Бир жемишти тандап алуунун саны m + n = 12. Жообу: 12.

2. Жайгаштыруу

2 -Аныктама. Берилген ар түрдүү n элементтеринен алынган   

m (m ≤ n) элементтери   боюнча  бири биринен    элементтеринин составы менен же жайгашкан орундары менен айырмаланган комбинацияны орундаштыруу деп айтабыз. 

Бардык n элеменггерден алынган   m (m≤n) элементтери   боюнча орундаштыруунун жалпы санын менен белгилейбиз жана

= n ∙ ( n – 1) ∙ … ∙ ( n – m + 1)=  .

формуласы аркылуу табабыз.

 

Айкалыштыруу

3 -Аныктама. Берилген n элементтердин m (m ≤ n)  элементтери боюнча бири - биринен элементтердин мүчөлөрү менен айырмаланган комбинацияларды айкалыштыруу(топтоштуруу) дейбиз.

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m обозначается символом   и вычисляется по формуле:

=  =  , т. е.  = .

Айкалыштыруунун касиеттери:

 = 1,

 = ,

 =  + ,

 +  +  + … +  = .

2-сабак.

 Окуялардын түрлөрү

1-Аныктама .  Сыноо  деп  байкоо жүргүзүлүп жаткан кубулуш үчүн бардык комплекстүү шарттардын  аткарылышын айтабыз.

2-Аныктама . Ар бир сыноонун натыйжасын (жыйынтыгын) элементардык окуя деп айтабыз.Окуяларды A, B, C, …. латын ариптери менен белгилейбиз.

1-Мисал. Мергенчи бута атты. Атуу – бул сыноо.Октун бутага тийиши же тийбеши - окуя.

2-Мисал. Тыйынды ыргытуу – бул сыноо. Тыйынды ыргытканда герб жагы же сан жагынан түшүүсү -окуя.

Күндөлүк турмушубузда бизге байкалган окуяларды, кубулуштарды үч түргө бөлүүгө болот: чыныгы (шексиз) окуялар; мүмкүн болбогон окуялар, кокус окуялар.

    3-Аныктама. Сыноонун натыйжасында сезсүз пайда боло турган окуяны чыныгы  окуя деп айтабыз.

    4-Аныктама. Сыноонун натыйжасында сезсүз пайда болбой турган окуяны мүмкүн болбогон окуя деп айтабыз, б.а. бир дагы элементардык окуяны кармабаган окуяны айтабыз жана Æ белгиси менен белгилейбиз

(«куру көптүк» Æ). Эске салсак ÆΩ ар дайым аткарылат.

3- Мисал. Алты грандуу ойнолуучу сөөкчөнү ыргытканда бирден кем эмес упайдын чыгышы - чыныгы окуя, ал эми алтыдан көп .упайдын чыгышы - мүмкүн болбогон окуя.

4-Мисал. Урнада ак жана кара шарлар салынган. А окуясы — урнадан кызыл шарды тандоо. А окуясы — мүмкүн болбогон окуя.

5-Аныктама. Сыноонун натыйжасында окуянын пайда болуусу да, пайда болбошу да мүмкүн болсо анда мындай окуяны кокус окуя деп айтабыз.

5-Мисал. Тыйынды бир жолу ыргытканда герб жагынан түшүүсү - кокус окуя.

Кокус окуяларды да өз кезегинде үч түргө бөлүүгө болот: бирге пайда болбогон окуялар, жеке мүмкүнчүлүктөгү окуялар жана бирдей мүмкүнчүлүктөгү окуялар.

6-Аныктама. Эгерде сыноонун жыйынтыгында бир окуянын келип чыгуусу экинчи бир окуянын келип чыгуусун жокко чыгарса, аңда мындай окуяларды бирге пайда болбогон окуялар дел айтабыз.

6-Мисал. Тыйынды бир жолу ыргытканда «герб жагынан түшүүсү» анын «сан жагынан түшүүсүн» жокко чыгарат.Демек  «герб жагынан түшүү»  жана «сан жагынан түшүү» окуялары - бирге пайда болбогон окуялар.

Чыныгы жана ишке ашпоочу сжуяларды мындан ары тиешелүү түрдө I) жана V тамгалары аркылуу белгилейбиз.

7-Аныктама. Эгерде сыноонун натыйжасында окуялардын жалгыз бирөөсүнүн гана пайда болуусу чыныгы окуя болсо, анда мындай окуяларды жеке мүмкүнчүлүктөгү окуялар дейбиз.

7- Мисалы, эгерде мергенчи бутаны атса, анда сөзсүз эки окуянын бирөөсү бирөөсү келип чыгат: бутага тийүү же же тийбөө. Бул жеке мүмкүнчүлүктөгү окуялар.

Мисалы, акча - буюм лотерия эки билетин ойноткондо төмөнкүдөй окуялардын сөзсүз бирөөсү келип чыгары шексиз; "биринчи билет утат, экинчиси утпайт"; "биринчи билет утпайт, экинчиси утат", "экөе тең утат" ,"экөө тең утпайт". Бул окуялар жеке мүмкүнчүлүктөгү окуялар болушат. Жеке мүмкүнчүлүктөгү окуялар • жуп - жубу менен бирге пайда болуусу мүмкүн эмес,

8-Аныктама. Эгерде окуялардын ичинен бир дагы окуянын пайда болуусу башкаларга караганда жогорку мүмкүнчүлүктө деп эсептөөгө негиз жок болсо, анда мындай окуяларды бирдей мүмкүнчүлүктөгү окуялар деп айтабыз.

Мисалы, ойнолуучу сөөкчөнү ыргытканда тигил же бул упайлардын келип чыгышы - бирдей мүмкүнчүлүктөгү окуялар.

Мисалы, сандыкчадан тетиктерди туш келди алып чыгууда стандарттуу жана стандартгуу эмес тетиктердин чыгышы - бирге пайда болбогон кокус окуялар. Анткени стандарттуу тетиктин чыгышы стандарттуу эмес тетиктин чыгуусун жокко чыгарат.

Аныктама. Сыноонун натыйжасында бир нече окуялардын ичинен сөзсүз бирөө пайда болсо, анда мындай окуялар окуялардын толук тобун түзүшөт деп айталабыз.

Жеке мүмкүнчүлүктөгү окуялар толук топту түзүшөт.

Аныктама. Толук топту түзүшкөн, бирге пайда болбогон жана бирдей мүмкүнчүлүктөгү окуяларды жагдайлар (учурлар) деп айтабыз.

Айрым учурлардын ыңгайына жараша, "жагдай" деген аталыштын ордуна "Сыноонун элементардык натыйжасы" же жөн эле "Элементардык окуя" деген аталыштар колдонулат.

Аныктама. Эгерде толук топко кирген окуянын, б.а. жагдайдын келип чыгышынан А окуянын пайда болуусу мүмкүн болсо, анда аны А окуясынын пайда болуусун шарттоочу жагдай деп айтабыз.

Акыркы эки аныктамага таянып, төмөнкүдөй тыянакка келебиз;

а)  ар кандай А кокус окуясы чектүү же чексиз сандагы жагдайдын көптүгүн түзөт ;

б)  бул көптүккө кирген жагдайлардын бйрөөсү пайда болгондо гана А окуясы келип чыгат.

 

Окуялар менен болгон амалдар

Ыктымалдыктар  теориясында окуялардын үстүнөн көптүктөр теориясындагы көптүктөрдүн  үстүнөн жүргүзүлгөн амалдар аткарылат.

 

 
 


7- Аныктама. А жана В окуяларынын суммасы (биригүүсү) деп, алардын жок дегенде бирөөсүнүн пайда болуусунан келип чыккан С окуясын айтабыз жана А+В () белгиси менен белгилейбиз.

 

Сүр. 1.1

Жалпы учурда, бир нече окуялардын суммасы деп, алардын ичинен жок дегеңде бирөөсүнүн пайда болуусунан келип чыккан окуяны түшүнөбүз.                                      

7-Аныктама .  А жана В окуяларынын көбөйтүндүсү (кесилиши) деп, бул окуялардын бир учурда пайда болуусунан келип чыккан  окуяны айтабыз жана АВ (A∩B) белгиси менен белгилейбиз.

Жалпы учурда, бир нече окуялардын көбөйтүндүсү ал окуялардын бардыгынын бир мезгилде пайда болуусунан келип чыгуучу окуя болот.

 
 

 

 

Рис. 1.2

8- Аныктама .  А жана В окуяларынын айырмасы деп А окуясы аткарылганда В  окуясы  аткарылбаган окуяны айтабыз жана А\В  (В окуясын  А оокуясына чейин толуктоо).

Рис. 1.3

Мисалы, тыйынды эки жолу ыргытканда төмөнкүдөй жагдайлар түзүлөт:(ц,г),    (гц),   (цц), (гг)  .

Мында г - гербдин чыгышы, ц - цифранын чыгышы; "Гербдин бир жолу чыгышы" - А окуясы болсо, анда ал  элементтеринен турган көптүктү түзөт.

Ар кандай окуяны көптүк катары кароого мүмкүн болгондуктан, көптүктөрдүн теориясына ылайык, окуялардын алгебрасын түзүүгө болот.

1-мисал. Ойнолуучу сөөктөрдөн экөө ыргытылат. "Чыккан упайлардын суммасы так сан" - А окуясы, "жок дегенде бир сөөкчөде "эки"  упайынын  чыгышы"   -   В   окуясы  болсун.  А+В,   АВ  окуяларын мүнөздөгүлө.

Чыгаруу. А+В окуясы аныктама боюнча, А жана В окуяларыныи жок дегенде бирөөсүнүн пайда болуусунан келип чыккан окуя. Ошондуктан ал, же чыккан упайлардын суммасы так сан болушун, же сөөкчөлөрдүн биринде "эки" упайынын, экинчисинде жуп сандын чыгышын мүнөздейт.

Ал     эми     АВ     окуясы     А     жана     В     окуяларынын     бирге аткарылгандыгынан   пайда   болгондуктан,   ал   бир   сөөкчөдө   "эки"1 упайынын   чыгышын      (В   окуясы),   экинчиде   так   сандагы   упайдын чыгышын мүнөздөйт.

Эгерде  болсо, б.а. А жана В окуяларынын көбөйтүндүсү ишке ашпоочу окуя болсо, (бош көптүк болсо), анда бул окуялар бирге аткарылбайт.

Аныктама.   Эгерде  А жана  В  бирдей   жагдайлардан  түзүлгөн көптүктөр болушса, анда аларды тең күчтөгү окуялар деп айтабыз. Тен күчтүүлүктү белгилөөгө барабардык белгиси колдонулат: .

Ар бир А окуясына карама-каршы  окуясы туура келет, б.а. А окуясынын пайда болушу  окуясынын пайда болбошуна тең күчтө болот. I) жана V окуялары өз ара карама - каршы окуялар. Карама -каршы окуялар бирге пайда болушпайт жана алар толук топту түзүшөт.

Аныктама. Качан гана А окуясы болуп өткөндө В окуясы да болуп өтсө, анда А окуясы В окуясына камтылган деп аталат жана  деп белгиленет.

Анда А жана В окуялары тең күчтүү окуялар деп айтабыз. Бул учурда А=В деп жазышат.

Көптүктөр теориясындагы жана ыктымалдуулуктар теориясындагы терминологиялардын ортосундагы байланышты төмөнкү таблица аркылуу беребиз:

 

Белгилениши

Көптүктөр теориясындагы терминологиялар

Ыктымалдуулуктар теориясындагы терминологиялар

Мейкиндик (негизги көптүк)

Элементардык жыйынтыктардын мейкиндиги, аныкталган окуя

 элементи  мейкиндигине тиешелуу

 элементардык окуя (тажрыйбанын жыйынтыгы)

 көптүгү

 окуясы

А жана В көптүктөрүнүн биригүүсү

А жана В окуяларынын

биригуусу же суммасы

А жана В көптүктөрүнүн кеслиши

А жана В окуяларынын

кесилиши  же көбөйтүүсү

Куру көптүк

Мүмкүн болбогон окуя

Кошумча көптук

Карама-каршы оуя

А жана В көптүктөрү кеслишпейт

А жана В окуялары бирге пайда болбогон окуялар

 

А көптүктөрү В га камтылган

А окуясынан  В окуялсы келип чыгат

А жана В көптүктөрү дал келет

А жана В окуялары барабар